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刷题笔记

深入理解二叉树

# 二叉树的种类

在我们解题过程中二叉树有两种主要的形式：满二叉树和完全二叉树。

# 满二叉树

满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。

如图所示：

这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为k，有2^k-1个节点的二叉树。

# 完全二叉树

什么是完全二叉树？

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层（h从1开始），则该层包含 1~ 2^(h-1) 个节点。

大家要自己看完全二叉树的定义，很多同学对完全二叉树其实不是真正的懂了。

我来举一个典型的例子如题：

相信不少同学最后一个二叉树是不是完全二叉树都中招了。

之前我们刚刚讲过优先级队列其实是一个堆，堆就是一棵完全二叉树，同时保证父子节点的顺序关系。

# 二叉搜索树

前面介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉排序树

下面这两棵树都是搜索树

# 平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

如图：

最后一棵不是平衡二叉树，因为它的左右两个子树的高度差的绝对值超过了1。

# 二叉树的存储方式

二叉树可以链式存储，也可以顺序存储。

那么链式存储方式就用指针，顺序存储的方式就是用数组。

顾名思义就是顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在各个地址的节点串联一起。

链式存储如图：

链式存储是大家很熟悉的一种方式，那么我们来看看如何顺序存储呢？

其实就是用数组来存储二叉树，顺序存储的方式如图：

用数组来存储二叉树如何遍历的呢？

如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。

但是用链式表示的二叉树，更有利于我们理解，所以一般我们都是用链式存储二叉树。

所以大家要了解，用数组依然可以表示二叉树。

# 二叉树的思维模式

二叉树解题的思维模式分两类：

1、是否可以通过遍历一遍二叉树得到答案？如果可以，用一个 traverse 函数配合外部变量来实现，这叫「遍历」的思维模式。

2、是否可以定义一个递归函数，通过子问题（子树）的答案推导出原问题的答案？如果可以，写出这个递归函数的定义，并充分利用这个函数的返回值，这叫「分解问题」的思维模式。

无论使用哪种思维模式，你都需要思考：

如果单独抽出一个二叉树节点，它需要做什么事情？需要在什么时候（前/中/后序位置）做？其他的节点不用你操心，递归函数会帮你在所有节点上执行相同的操作。

# 二叉树的重要性

举个例子，比如两个经典排序算法 快速排序和 归并排序，对于它俩，你有什么理解？

如果你告诉我，快速排序就是个二叉树的前序遍历，归并排序就是个二叉树的后序遍历，那么我就知道你是个算法高手了。

为什么快速排序和归并排序能和二叉树扯上关系？我们来简单分析一下他们的算法思想和代码框架：

快速排序的逻辑是，若要对 nums[lo..hi] 进行排序，我们先找一个分界点 p，通过交换元素使得 nums[lo..p-1] 都小于等于 nums[p]，且 nums[p+1..hi] 都大于 nums[p]，然后递归地去 nums[lo..p-1] 和 nums[p+1..hi] 中寻找新的分界点，最后整个数组就被排序了。

快速排序的代码框架如下：

void sort(int[] nums, int lo, int hi) {
    /****** 前序遍历位置 ******/
    // 通过交换元素构建分界点 p
    int p = partition(nums, lo, hi);
    /************************/

    sort(nums, lo, p - 1);
    sort(nums, p + 1, hi);
}

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先构造分界点，然后去左右子数组构造分界点，你看这不就是一个二叉树的前序遍历吗？

再说说归并排序的逻辑，若要对 nums[lo..hi] 进行排序，我们先对 nums[lo..mid] 排序，再对 nums[mid+1..hi] 排序，最后把这两个有序的子数组合并，整个数组就排好序了。

归并排序的代码框架如下：

// 定义：排序 nums[lo..hi]
void sort(int[] nums, int lo, int hi) {
    int mid = (lo + hi) / 2;
    // 排序 nums[lo..mid]
    sort(nums, lo, mid);
    // 排序 nums[mid+1..hi]
    sort(nums, mid + 1, hi);

    /****** 后序位置 ******/
    // 合并 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi]
    merge(nums, lo, mid, hi);
    /*********************/
}

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先对左右子数组排序，然后合并（类似合并有序链表的逻辑），你看这是不是二叉树的后序遍历框架？另外，这不就是传说中的分治算法嘛，不过如此呀。

如果你一眼就识破这些排序算法的底细，还需要背这些经典算法吗？不需要。你可以手到擒来，从二叉树遍历框架就能扩展出算法了。

说了这么多，旨在说明，二叉树的算法思想的运用广泛，甚至可以说，只要涉及递归，都可以抽象成二叉树的问题。

接下来我们从二叉树的前中后序开始讲起，让你深刻理解这种数据结构的魅力。

# 深入理解前中后序

我先甩给你几个问题，请默默思考 30 秒：

1、你理解的二叉树的前中后序遍历是什么，仅仅是三个顺序不同的 List 吗？

2、请分析，后序遍历有什么特殊之处？

3、请分析，为什么多叉树没有中序遍历？

答不上来，说明你对前中后序的理解仅仅局限于教科书，不过没关系，我用类比的方式解释一下我眼中的前中后序遍历。

首先，回顾一下前面说到的二叉树遍历框架：

void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 前序位置
    traverse(root.left);
    // 中序位置
    traverse(root.right);
    // 后序位置
}

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先不管所谓前中后序，单看 traverse 函数，你说它在做什么事情？

其实它就是一个能够遍历二叉树所有节点的一个函数，和你遍历数组或者链表本质上没有区别：

/* 迭代遍历数组 */
void traverse(int[] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {

    }
}

/* 递归遍历数组 */
void traverse(int[] arr, int i) {
    if (i == arr.length) {
        return;
    }
    // 前序位置
    traverse(arr, i + 1);
    // 后序位置
}

/* 迭代遍历单链表 */
void traverse(ListNode head) {
    for (ListNode p = head; p != null; p = p.next) {

    }
}

/* 递归遍历单链表 */
void traverse(ListNode head) {
    if (head == null) {
        return;
    }
    // 前序位置
    traverse(head.next);
    // 后序位置
}

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单链表和数组的遍历可以是迭代的，也可以是递归的，二叉树这种结构无非就是二叉链表，由于没办法简单改写成迭代形式，所以一般说二叉树的遍历框架都是指递归的形式。

你也注意到了，只要是递归形式的遍历，都可以有前序位置和后序位置，分别在递归之前和递归之后。

所谓前序位置，就是刚进入一个节点（元素）的时候，后序位置就是即将离开一个节点（元素）的时候，那么进一步，你把代码写在不同位置，代码执行的时机也不同：

比如说，如果让你倒序打印一条单链表上所有节点的值，你怎么搞？

实现方式当然有很多，但如果你对递归的理解足够透彻，可以利用后序位置来操作：

/* 递归遍历单链表，倒序打印链表元素 */
void traverse(ListNode head) {
    if (head == null) {
        return;
    }
    traverse(head.next);
    // 后序位置
    print(head.val);
}

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结合上面那张图，你应该知道为什么这段代码能够倒序打印单链表了吧，本质上是利用递归的堆栈帮你实现了倒序遍历的效果。

那么说回二叉树也是一样的，只不过多了一个中序位置罢了。

教科书里只会问你前中后序遍历结果分别是什么，所以对于一个只上过大学数据结构课程的人来说，他大概以为二叉树的前中后序只不过对应三种顺序不同的 List<Integer> 列表。

但是我想说，前中后序是遍历二叉树过程中处理每一个节点的三个特殊时间点，绝不仅仅是三个顺序不同的 List：

前序位置的代码在刚刚进入一个二叉树节点的时候执行；

后序位置的代码在将要离开一个二叉树节点的时候执行；

中序位置的代码在一个二叉树节点左子树都遍历完，即将开始遍历右子树的时候执行。

你注意本文的用词，我一直说前中后序「位置」，就是要和大家常说的前中后序「遍历」有所区别：你可以在前序位置写代码往一个 List 里面塞元素，那最后得到的就是前序遍历结果；但并不是说你就不可以写更复杂的代码做更复杂的事。

画成图，前中后序三个位置在二叉树上是这样：

你可以发现每个节点都有「唯一」属于自己的前中后序位置，所以我说前中后序遍历是遍历二叉树过程中处理每一个节点的三个特殊时间点。

这里你也可以理解为什么多叉树没有中序位置，因为二叉树的每个节点只会进行唯一一次左子树切换右子树，而多叉树节点可能有很多子节点，会多次切换子树去遍历，所以多叉树节点没有「唯一」的中序遍历位置。

说了这么多基础的，就是要帮你对二叉树建立正确的认识，然后你会发现：

二叉树的所有问题，就是让你在前中后序位置注入巧妙的代码逻辑，去达到自己的目的，你只需要单独思考每一个节点应该做什么，其他的不用你管，抛给二叉树遍历框架，递归会在所有节点上做相同的操作。

# 两种解题思路

二叉树题目的递归解法可以分两类思路，第一类是遍历一遍二叉树得出答案，第二类是通过分解问题计算出答案，这两类思路分别对应着 回溯算法核心框架和 动态规划核心框架。

这里用二叉树的最大深度这个问题来举例，重点在于分析这两种思路如何解决二叉树的题目。

力扣第 104 题「二叉树的最大深度open in new window (opens new window)」就是最大深度的题目，所谓最大深度就是根节点到「最远」叶子节点的最长路径上的节点数，比如输入这棵二叉树，算法应该返回 3：

你做这题的思路是什么？显然遍历一遍二叉树，用一个外部变量记录每个节点所在的深度，取最大值就可以得到最大深度，这就是遍历二叉树计算答案的思路。

解法代码如下：

// 记录最大深度
int res = 0;
// 记录遍历到的节点的深度
int depth = 0;

// 主函数
int maxDepth(TreeNode root) {
	traverse(root);
	return res;
}

// 二叉树遍历框架
void traverse(TreeNode root) {
	if (root == null) {
		return;
	}
	// 前序位置
	depth++;
    if (root.left == null && root.right == null) {
        // 到达叶子节点，更新最大深度
		res = Math.max(res, depth);
    }
	traverse(root.left);
	traverse(root.right);
	// 后序位置
	depth--;
}

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这个解法应该很好理解，但为什么需要在前序位置增加 depth，在后序位置减小 depth？

因为前面说了，前序位置是进入一个节点的时候，后序位置是离开一个节点的时候，depth 记录当前递归到的节点深度，你把 traverse 理解成在二叉树上游走的一个指针，所以当然要这样维护。

至于对 res 的更新，你放到前中后序位置都可以，只要保证在进入节点之后，离开节点之前（即 depth 自增之后，自减之前）就行了。

当然，你也很容易发现一棵二叉树的最大深度可以通过子树的最大深度推导出来，这就是分解问题计算答案的思路。

解法代码如下：

// 定义：输入根节点，返回这棵二叉树的最大深度
int maxDepth(TreeNode root) {
	if (root == null) {
		return 0;
	}
	// 利用定义，计算左右子树的最大深度
	int leftMax = maxDepth(root.left);
	int rightMax = maxDepth(root.right);
	// 整棵树的最大深度等于左右子树的最大深度取最大值，
    // 然后再加上根节点自己
	int res = Math.max(leftMax, rightMax) + 1;

	return res;
}

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只要明确递归函数的定义，这个解法也不难理解，但为什么主要的代码逻辑集中在后序位置？

因为这个思路正确的核心在于，你确实可以通过子树的最大深度推导出原树的深度，所以当然要首先利用递归函数的定义算出左右子树的最大深度，然后推出原树的最大深度，主要逻辑自然放在后序位置。

如果你理解了最大深度这个问题的两种思路，那么我们再回头看看最基本的二叉树前中后序遍历，就比如算前序遍历结果吧。

我们熟悉的解法就是用「遍历」的思路，我想应该没什么好说的：

List<Integer> res = new LinkedList<>();

// 返回前序遍历结果
List<Integer> preorderTraverse(TreeNode root) {
    traverse(root);
    return res;
}

// 二叉树遍历函数
void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 前序位置
    res.add(root.val);
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

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但你是否能够用「分解问题」的思路，来计算前序遍历的结果？

换句话说，不要用像 traverse 这样的辅助函数和任何外部变量，单纯用题目给的 preorderTraverse 函数递归解题，你会不会？

我们知道前序遍历的特点是，根节点的值排在首位，接着是左子树的前序遍历结果，最后是右子树的前序遍历结果：

那这不就可以分解问题了么，一棵二叉树的前序遍历结果 = 根节点 + 左子树的前序遍历结果 + 右子树的前序遍历结果。

所以，你可以这样实现前序遍历算法：

// 定义：输入一棵二叉树的根节点，返回这棵树的前序遍历结果
List<Integer> preorderTraverse(TreeNode root) {
    List<Integer> res = new LinkedList<>();
    if (root == null) {
        return res;
    }
    // 前序遍历的结果，root.val 在第一个
    res.add(root.val);
    // 利用函数定义，后面接着左子树的前序遍历结果
    res.addAll(preorderTraverse(root.left));
    // 利用函数定义，最后接着右子树的前序遍历结果
    res.addAll(preorderTraverse(root.right));
    return res;
}

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中序和后序遍历也是类似的，只要把 add(root.val) 放到中序和后序对应的位置就行了。

这个解法短小精干，但为什么不常见呢？

一个原因是这个算法的复杂度不好把控，比较依赖语言特性。

Java 的话无论 ArrayList 还是 LinkedList，addAll 方法的复杂度都是 O(N)，所以总体的最坏时间复杂度会达到 O(N^2)，除非你自己实现一个复杂度为 O(1) 的 addAll 方法，底层用链表的话是可以做到的，因为多条链表只要简单的指针操作就能连接起来。

当然，最主要的原因还是因为教科书上从来没有这么教过……

上文举了两个简单的例子，但还有不少二叉树的题目是可以同时使用两种思路来思考和求解的，这就要靠你自己多去练习和思考，不要仅仅满足于一种熟悉的解法思路。

综上，遇到一道二叉树的题目时的通用思考过程是：

1、是否可以通过遍历一遍二叉树得到答案？如果可以，用一个 traverse 函数配合外部变量来实现。

2、是否可以定义一个递归函数，通过子问题（子树）的答案推导出原问题的答案？如果可以，写出这个递归函数的定义，并充分利用这个函数的返回值。

3、无论使用哪一种思维模式，你都要明白二叉树的每一个节点需要做什么，需要在什么时候（前中后序）做。

# 后序位置的特殊之处

说后序位置之前，先简单说下中序和前序。

中序位置主要用在 BST（二叉搜索树） 场景中，你完全可以把 BST 的中序遍历认为是遍历有序数组。

前序位置本身其实没有什么特别的性质，之所以你发现好像很多题都是在前序位置写代码，实际上是因为我们习惯把那些对前中后序位置不敏感的代码写在前序位置罢了。

你可以发现，前序位置的代码执行是自顶向下的，而后序位置的代码执行是自底向上的：

这不奇怪，因为本文开头就说了前序位置是刚刚进入节点的时刻，后序位置是即将离开节点的时刻。

但这里面大有玄妙，意味着前序位置的代码只能从函数参数中获取父节点传递来的数据，而后序位置的代码不仅可以获取参数数据，还可以获取到子树通过函数返回值传递回来的数据。

举具体的例子，现在给你一棵二叉树，我问你两个简单的问题：

1、如果把根节点看做第 1 层，如何打印出每一个节点所在的层数？

2、如何打印出每个节点的左右子树各有多少节点？

第一个问题可以这样写代码：

// 二叉树遍历函数
void traverse(TreeNode root, int level) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 前序位置
    printf("节点 %s 在第 %d 层", root, level);
    traverse(root.left, level + 1);
    traverse(root.right, level + 1);
}

// 这样调用
traverse(root, 1);

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第二个问题可以这样写代码：

// 定义：输入一棵二叉树，返回这棵二叉树的节点总数
int count(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }
    int leftCount = count(root.left);
    int rightCount = count(root.right);
    // 后序位置
    printf("节点 %s 的左子树有 %d 个节点，右子树有 %d 个节点",
            root, leftCount, rightCount);

    return leftCount + rightCount + 1;
}

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这两个问题的根本区别在于：一个节点在第几层，你从根节点遍历过来的过程就能顺带记录，用递归函数的参数就能传递下去；而以一个节点为根的整棵子树有多少个节点，你需要遍历完子树之后才能数清楚，然后通过递归函数的返回值拿到答案。

结合这两个简单的问题，你品味一下后序位置的特点，只有后序位置才能通过返回值获取子树的信息。

那么换句话说，一旦你发现题目和子树有关，那大概率要给函数设置合理的定义和返回值，在后序位置写代码了。

接下来看下后序位置是如何在实际的题目中发挥作用的，简单聊下力扣第 543 题「二叉树的直径open in new window (opens new window)」，让你计算一棵二叉树的最长直径长度。

所谓二叉树的「直径」长度，就是任意两个结点之间的路径长度。最长「直径」并不一定要穿过根结点，比如下面这棵二叉树：

它的最长直径是 3，即 [4,2,1,3]，[4,2,1,9] 或者 [5,2,1,3] 这几条「直径」的长度。

解决这题的关键在于，每一条二叉树的「直径」长度，就是一个节点的左右子树的最大深度之和。

现在让我求整棵树中的最长「直径」，那直截了当的思路就是遍历整棵树中的每个节点，然后通过每个节点的左右子树的最大深度算出每个节点的「直径」，最后把所有「直径」求个最大值即可。

最大深度的算法我们刚才实现过了，上述思路就可以写出以下代码：

class Solution {
    // 记录最大直径的长度
    int maxDiameter = 0;

    public int diameterOfBinaryTree(TreeNode root) {
        // 对每个节点计算直径，求最大直径
        traverse(root);
        return maxDiameter;
    }

    // 遍历二叉树
    void traverse(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        // 对每个节点计算直径
        int leftMax = maxDepth(root.left);
        int rightMax = maxDepth(root.right);
        int myDiameter = leftMax + rightMax;
        // 更新全局最大直径
        maxDiameter = Math.max(maxDiameter, myDiameter);
        
        traverse(root.left);
        traverse(root.right);
    }

    // 计算二叉树的最大深度
    int maxDepth(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int leftMax = maxDepth(root.left);
        int rightMax = maxDepth(root.right);
        return 1 + Math.max(leftMax, rightMax);
    }
}

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这个解法是正确的，但是运行时间很长，原因也很明显，traverse 遍历每个节点的时候还会调用递归函数 maxDepth，而 maxDepth 是要遍历子树的所有节点的，所以最坏时间复杂度是 O(N^2)。

这就出现了刚才探讨的情况，前序位置无法获取子树信息，所以只能让每个节点调用 maxDepth 函数去算子树的深度。

那如何优化？我们应该把计算「直径」的逻辑放在后序位置，准确说应该是放在 maxDepth 的后序位置，因为 maxDepth 的后序位置是知道左右子树的最大深度的。

所以，稍微改一下代码逻辑即可得到更好的解法：

class Solution {
    // 记录最大直径的长度
    int maxDiameter = 0;

    public int diameterOfBinaryTree(TreeNode root) {
        maxDepth(root);
        return maxDiameter;
    }

    int maxDepth(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int leftMax = maxDepth(root.left);
        int rightMax = maxDepth(root.right);
        // 后序位置，顺便计算最大直径
        int myDiameter = leftMax + rightMax;
        maxDiameter = Math.max(maxDiameter, myDiameter);

        return 1 + Math.max(leftMax, rightMax);
    }
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这下时间复杂度只有 maxDepth 函数的 O(N) 了。

讲到这里，照应一下前文：遇到子树问题，首先想到的是给函数设置返回值，然后在后序位置做文章。

# 层序遍历框架

二叉树题型主要是用来培养递归思维的，而层序遍历属于迭代遍历，也比较简单，这里就过一下代码框架吧：

// 输入一棵二叉树的根节点，层序遍历这棵二叉树
void levelTraverse(TreeNode root) {
    if (root == null) return; // 如果根节点为空，则不进行任何操作
    Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();
    q.offer(root); // 将根节点加入队列

    int level = 0; // 用来跟踪当前层的变量

    // 从上到下遍历二叉树的每一层
    while (!q.isEmpty()) {
        int sz = q.size(); // 当前层的节点数量
        level++; // 开始新的一层，层数加一

        // 从左到右遍历每一层的每个节点
        for (int i = 0; i < sz; i++) {
            TreeNode cur = q.poll(); // 从队列中取出当前节点

            // 在这里执行你需要在每个节点上进行的操作
            // 例如：打印当前节点的值或执行其他计算
            System.out.println("节点值: " + cur.val + "，层级: " + level);

            // 将下一层的节点放入队列
            if (cur.left != null) {
                q.offer(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
                q.offer(cur.right);
            }
        }

        // 如果你需要在每一层完成后执行某些操作，可以在这里添加代码
        // 例如：检查当前层中是否有某个特定的值或者更新某个全局变量
        // System.out.println("刚刚完成了层级: " + level);
    }

    // 如果你需要在遍历完所有层后执行某些操作，可以在这里添加代码
    // 例如：根据层级信息计算最大深度或者执行其他汇总计算
    // System.out.println("二叉树的最大深度为: " + level);
}

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这里面 while 循环和 for 循环分管从上到下和从左到右的遍历：

后文 BFS 算法框架（广度优先搜索）就是从二叉树的层序遍历扩展出来的，常用于求无权图的最短路径问题。

当然这个框架还可以灵活修改，题目不需要记录层数（步数）时可以去掉上述框架中的 for 循环，比如后文 Dijkstra 算法中计算加权图的最短路径问题，详细探讨了 BFS 算法的扩展。

值得一提的是，有些很明显需要用层序遍历技巧的二叉树的题目，也可以用递归遍历的方式去解决，而且技巧性会更强，非常考察你对前中后序的把控。

比如前文提到的求二叉树的最大深度，你可以在遍历过程中增加一个变量来跟踪当前的层数。每当你开始遍历新的一层时，这个层数就会增加。

实现代码如下：

class Solution {
    public int maxDepth(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return 0;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        int depth = 0;

        while (!queue.isEmpty()) {
            int levelSize = queue.size();
            // 遍历当前层的所有节点
            for (int i = 0; i < levelSize; i++) {
                TreeNode current = queue.poll();
                // 将下一层的节点加入队列
                if (current.left != null)
                    queue.offer(current.left);
                if (current.right != null)
                    queue.offer(current.right);
            }
            // 完成当前层的遍历，深度加一
            depth++;
        }

        return depth;
    }
}

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我们使用Queue这个数据结构来存储每一层的节点。每次循环开始时，我们记录队列的大小，这代表了当前层的节点数量。通过对这些节点进行遍历，并将它们的子节点放入队列中，我们可以处理整个树的节点。每当这个循环完成一次，我们就完成了一层的遍历，因此深度depth会增加1。当队列为空时，这意味着我们已经访问了树的所有层，此时depth就是树的最大深度。

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上次更新: 2025/01/02, 01:21:04

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